حل عددی معادله‌ی برگر تعمیم یافته با کاربرد تفاضل محدود و مقایسه‌ی آن با روش Lattice Boltzmann

فصلنامه علمی مهندسی منابع آب

مقاله 2، دوره 8، شماره 24، فروردین و اردیبهشت 1394، صفحه 15-24   

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسنده

محمد واقفی^*

استادیار سازه های هیدرولیکی، گروه مهندسی عمران، دانشکده فنی و مهندسی، دانشگاه خلیج فارس، بوشهر، بوشهر

تاریخ دریافت: 18 مرداد 1394،  تاریخ پذیرش: 18 مرداد 1394 

چکیده

هدف اصلی این تحقیق حل عددی معادله­ی برگر تعمیم یافته در شرایط مرزی و اولیه­ی مناسب با استفاده از روش تفاضل محدود، و مقایسه­ی نتایج به دست آمده با جوابهای موجود در مقالات دیگر می باشد. این معادله­ی در حالت بی بعد مورد بررسی قرار گرفت. نتایج حل عددی با کاربرد تفاضل محدود با دستاوردهای روشLattice Boltzmann  مقایسه شد، که نمودارها و جداول مربوطه ارائه گردید، این مقایسه را توصیف می نمایند. همچنین، در این مقاله، به بررسی تاثیر فراسنجهای زمان، گرانروی و توان سرعت ته نشینی (در معادله­ی برگر) بر سرعت ته نشینی مواد معلق، پرداخته شد. نتایج نشان دادند که با افزایش فراسنجهای زمان و گرانروی، از بیشترین سرعت ته نشینی کاسته شده، و محل رخداد بیشترین سرعت ته نشینی به سمت انتهای بازه­ی مورد مطالعه انتقال می‌یابد. علاوه بر این، نتایج بیانگر آنند که با 100 برابر شدن فراسنج گرانروی، سرعت سقوط ذرات در نقطه­ی اوج حدود 60 درصد کاهش می یابد. تجزیه و تحلیل نتایج از مطالب ارائه شده در این مقاله می باشد

کلیدواژه‌ها

معادله‌ی برگر تعمیم یافته؛ روش تفاضل محدود؛ سرعت بیشترین؛ ته نشینی

عنوان مقاله [English]

Numerical Solution of the Modified Burger’s Equation Using Finite Difference Method and Comparison with the Lattice Boltzmann Method

نویسندگان [English]

M. Vaghefi

چکیده [English]

The main purpose of this study is finding a numerical solution of the modified Burger's equation with appropriate initial and boundary conditions, by using finite difference method for dimensionless state, and comparing the results with the other research. Finite difference method results were compared with those of LBM, and relevant figures and tables describe the comparison. This paper also addressed the effect of time, viscosity and the exponent of sedimentation velocity (in Burger equation) on sedimentation velocity. The results showed that an increase in time and viscosity parameters resulted in a decrease in the maximum sedimentation velocity, and the maximum sedimentation velocity occurrence was transported to the end of the range under investigation. In addition, the results indicated that if viscosity parameter was multiplied 100 times, the particles falling velocity at the peak point would decrease by 60%. The analysis of the results is included in the paper. 

کلیدواژه‌ها [English]

Modified Burger's, Equation, Finite difference method, Maximum Velocity, sedimentation

مراجع

1. Abdou, M. A., and A. A., Soliman. 2005. Variational iteration method for solving Burger's and coupled Burger's equations. Journal of Computational and Applied Mathematics. 181(2): 245-251.
2. Basha, H. A. 2002. Burgers' equation: A general nonlinear solution of infiltration and redistribution. Water Resources Research. 38(11): 29-1.
3. Broadbridge, P., R., Srivastava and T. C. J., Yeh. 1992. Burgers' equation and layered media: Exact solutions and applications to soil-water flow. Mathematical and computer modelling. 16(11): 163-169.
4. Dai, C. Q., and Y. Y., Wang. 2009. New exact solutions of the (3+1)-dimensional Burgers system. Physics Letters A. 373(2): 181-187.
5. Diaz, J., J., Ramirez and J., Villa. 2011. The numerical solution of ageneralized Burger's-Huxley equation qhrough a conkitionally bounded and symmetry-preserving method. Computers and Mathematics with Applications. 61: 3330-3344.
6. Duan, Y., R., Liu and Y., Jiang. 2008. Lattice Boltzmann model for the modified Burgers’ equation. Applied Mathematics and Computation. 202(2): 489-497.
7. Haq, S., A., Hussain and M., Uddin. 2012. On the numerical solution of nonlinear Burgers’-type equations using meshless method of lines. Applied Mathematics and Computation. 218(11): 6280-6290.
8. Haq, S., and M., Uddin. 2009. A mesh-free method for the numerical solution of the KdV–Burgers equation. Applied Mathematical Modelling. 33(8): 3442-3449.
9. Hills, R. G., and A. W., Warrick. 1993. Burgers' equation: A solution for soil water flow in a finite length. Water resources research. 29(4): 1179-1184.
10. Khater, A. H., R. S., Temsah and M. M., Hassan. 2008. A Chebyshev spectral collocation method for solving Burgers’-type equations. Journal of Computational and Applied Mathematics. 222(2): 333-350.
11. Meher, R., and M. N., Mehta. 2010. A new approach to Backlund transformations of Burger equation arising in longitudinal dispersion of miscible fluid flow through porous media. International Journal of Applied Mathematics and Computation. 2(3): 17-24.
12. Nee, J., and J., Duan. 1998. Limit set of trajectories of the coupled viscous Burgers' equations. Applied Mathematics Letters. 11(1): 57-61.
13. Ramadan, M. A., and T. S., El-Danaf. 2005. Numerical treatment for the modified burgers equation. Mathematics and Computers in Simulation. 70(2): 90-98.
14. Šarler, B., R., Vertnik and G., Kosec. 2012. Radial basis function collocation method for the numerical solution of the two-dimensional transient nonlinear coupled Burgers’ equations. Applied Mathematical Modelling. 36(3): 1148-1160.
15. Shen, S. F., Z. L., Pan and J., Zhang. 2004. New exact solution to (3+1)-dimensional Burgers equation. Communications in Theoretical Physics. 42(1): 49-50.
16. Singh, T., B. G., Choksi, M. N., Mehta and S., Pathak. A solution of the Burger’s equation arising in the longitudinal dispersion phenomena in fluid flow through porous media by Sumudu transform homotopy perturbation method. IOSR Journal of Mathematics. 11(1): 42-45.
17. Warrick, A. W., and G. W., Parkin. 1995. Analytical solution for one‐dimensional drainage: Burgers' and simplified forms. Water Resources Research. 31(11): 2891-2894.
18. Wazwaz, A. M. 2008. Multiple soliton solutions and multiple singular soliton solutions for the (3+1)-dimensional Burgers equations. Applied Mathematics and Computation. 204(2): 942-948.
19. Zhao, T., C., Li, Z., Zang and Y., Wu. 2012. Chebyshev-legendve pseudo-spectral method for the generalized Burger's-Fisher equation. Applied Mathematical Modelling. 36: 1046-1056.

اصغری پری، س.ا. و س.م. محققیان. 1393. بررسی عددی تاثیر ایجاد گودال­های حفاظتی در بستر بر مهار کردن جریان غلیظ. مجله علمی پژوهشی مهندسی منابع آب. 7(23): 1-12.